Problème de Monty Hall

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Problème de Monty Hall

Message par chapati le Lun 16 Juil - 23:02

Au départ, on a trois bols A, B, et C. retournés sur la table. Sous l' un d'eux, il y a une somme d'argent.
On nous demande de choisir un des trois bols.
Une fois un bol choisi, l'organisateur du jeu, qui lui connaît le bon bol, propose au joueur de retirer un des trois bols afin d'améliorer ses chances de gagner (un bol sur deux à trouver au lieu d'un sur trois). Bien sûr, l'organisateur ne retourne et n'enlève pas le bon bol, mais un des deux vides, qui n'aura pas été choisi par le joueur.
Et une fois ceci fait, il propose au joueur, si ça lui chante, de changer son choix : de changer de bol.

...

Or que disent les stats ? Qu'on n'a pas une chance sur deux.
A savoir que si le joueur change son choix, il ne perd que dans un seul cas, lorsqu'il a fait le bon choix.
Or, il avait une chance sur trois d’avoir fait le bon choix. En conséquence, en changeant son choix, il aurait deux chances sur trois de gagner.

Pour moi c'est faux. Le raisonnement statistique est faux.
C'est qu'il introduit une statistique à l'intérieur d'une autre en fait : par rapport à une autre statistique, certes valable (comme quoi au début on a une chance sur trois). Sauf que depuis le début, le fait est qu'il n'y a jamais eu une chance sur trois : c'est ce qu'on fait croire à qui choisit au départ un des trois bols... puisque l'énoncé du problème sera changé en cours de route : puisque la règle du jeu est modifiée !

La vrai règle du jeu doit être énoncée comme suit  : il y a trois bols au départ mais on va en enlever un, que votre réponse soit bonne ou fausse. Quelles sont alors vos chances avec un deuxième choix ?

Aussi la première décision n'a strictement pas la moindre importance : il n'y a jamais été question d'une statistique portant sur trois bols puisque le problème porte depuis le début sur deux bols (et la probabilité est donc de une chance sur deux).

...

Bon, reste donc à infirmer l'énoncé statistique qui voudrait qu'on reste sur trois possibilités et qui semble solide. Où est la faille ? Nous est donc dit que si je change mon choix, je ne perds que dans un seul cas, celui où j’avais fait le bon choix, soit une chance sur trois. Et donc si je change mon choix, me reste deux chances sur trois de gagner.
La faille est dans le donc : si je change mon choix, je le change à partir de deux éléments restants et non plus trois, et donc on retombe sur une chance sur deux et non deux sur trois.

En fait, les stats ont gardé le "une chance sur trois" initial (et certes réel) et font comme des espèces d'additions ou de multiplications statistiques, et in fine nous livrent des conclusions exactement comme si l'on était en droit de choisir deux bols au départ (ce qui correspondrait précisément à deux chances sur trois).


Vérifions ça. Avec donc deux bols choisis au départ : soit je choisis le bon bol et un bol vide, soit les deux bols vides. Ça amène à trois possibilité : bol plein + bol vide 1 ; bol plein + bol vide 2 ; deux bols vides (ce serait ça, deux chances sur trois : le bol plein apparaît bien deux fois sur trois).

Sauf qu'après avoir enlevé un bol vide (non choisi), on se retrouve avec le deuxième énoncé dans le cas où les deux premiers choix reviennent à un seul : bol plein + bol vide (quel que soit le bol vide choisi avec le plein).

Reprenons. Le premier choix portait sur trois possibilités. Réactualisé dans le deuxième énoncé (une fois un bol vide enlevé), ce changement de la règle du jeu fait qu'on s'aperçoit qu'il n'y a jamais eu que deux cas de figure : l'une où l'on se retrouve à avoir choisi un bol plein et un bol vide ; l'autre où l'on se retrouve avec un bol vide (l'autre ayant donc été éliminé). Les trois choix présumés dans le premier énoncé ont été réduits à deux cas de figures dans le second !

Aussi quelle différence, une fois un bol vide enlevé, entre le fait d'avoir eu droit à deux choix au départ et celui de n'avoir eu droit qu'à un seul ? Strictement aucune. Dans les deux cas, il nous reste une chance sur deux, une fois donc posé qu'un bol vide sera enlevé. Ce qui démontre que la première statistique n'influe en rien sur la seconde (et donc qu'on ne pouvait raisonner à partir de l'hypothèse qu'on avait une chance sur trois au début et que donc restaient deux chances sur trois de l'autre côté).

CQFD

La réfutation est donc faite : dire que l'on a deux chances sur trois, c'est ne pas tenir compte de l'enlèvement d'un des deux bols vides : du changement de l'énoncé des conditions du problèmes.

(une multiplicité ne se divise pas sans changer de nature... nan, je déconne  Very Happy )


na !

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Re: Problème de Monty Hall

Message par chapati le Mar 17 Juil - 20:30

Je lis un autre argument qui prônerait la star de 2/3 :
Il est peut-être plus facile d'appréhender le résultat décrit ci-dessus en considérant 100 bols et non plus trois comme précédemment. Lorsque le candidat choisit un bol, il a 99 % de chances d'en choisir un vide. Imaginons maintenant que le présentateur enlève non plus un bol, mais 98 d'un coup, révélant donc 98 bols vides, tout en proposant toujours ensuite au candidat de changer son choix initial. À 99 % ce bol sera plein, tout comme au début le candidat avait 99 % de chances de choisir un bol vide. Le candidat aura donc tout intérêt à changer son choix initial.

La démonstration est la même, mais le résultat est plus intuitif : il paraît tellement suspect que toutes les portes non choisies aient été ouvertes sauf une
Déjà la formulation est bizarrement vaseuse : "à 99% ce bol sera plein". Est-il question de dire que "l'autre bol restant" (celui qu'on n'a pas choisi) serait sûr à 99% puisque le nôtre est sûr à 1% ?
C'est la même logique absurde.
Ça le serait si et seulement si les bols étaient ôtés de manière aléatoire une fois le nôtre mis de côté. Alors oui, on pourrait penser que c'est une drôle de coïncidence que dans les bols non retournés, on trouve, outre le nôtre et ses misérables chances, justement un autre qui forcément va concentrer toutes les attentions.

Or tel n'est pas le cas, puisque la règle est de préserver le bol choisi et/ou aussi le bol plein. Ainsi on ne fait pas du tout une opération "aléatoire", susceptible d'entrer dans une statistique, et donc "suspecte" de par son résultat : on s'est contenté d'ôter mécaniquement ce qui doit l'être selon le second énoncé, pour ce qui concerne 97 bols. Et pour les trois bols restants : soit le nôtre est celui qui est plein, auquel cas on retirera au hasard un autre bol (pris au hasard = 1/2 chance, seule occurrence statistique de l'affaire) ; soit il est vide auquel cas on le garde ainsi que le bol plein (avec zéro choix).
Aucune statistique possible ou presque là-dedans.

C'est bizarre cette affaire, parce qu'il paraîtrait qu'une vérification sur des grands nombres par ordinateur permettrait effectivement de justifier la statistique de 2/3. Mon raisonnement pêcherait-il ? Et pêche-t-il ? (c'est que j'ai du mal à imaginer que les statisticiens se plantent en introduisant les données du problème, ce serait énorme).

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Re: Problème de Monty Hall

Message par chapati le Mer 18 Juil - 21:49

Passons de la théorie à la pratique.

Jules est un chaud lapin. Il est en boite de nuit et sirote une vodka-orange au bar en matant les filles. Dans un coin sont assises trois copines autour d'une table : Eve, Blanche et Marie. Marie flash sur Jules et n'arrête pas de le mater en coin. Ses copines s'en aperçoivent, et Marie étant plutôt timide, Blanche se charge d'aller brancher Jules et de l'amener à leur table. Jules est bien content, c'est que les trois filles sont mignonnes. Mais c'est quand même Eve qu'il préfère, encore qu'il ait aussi un faible pour Blanche, bien que finalement Marie ne soit pas si mal non plus. Aussi il invite Eve à danser et tente d'introduire sa langue dans sa bouche. Eve lui en colle une en le traitant de porc mais, par solidarité envers Marie, retourne à la table avec lui comme si de rien ne s'était passé.
Mais Jules est statisticien dans la vie, et se réjouit déjà : "super, se dit-il, j'ai donc maintenant deux chances sur trois que Blanche soit dans mon lit ce soir"...

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