Disques blancs, disques noirs

Trouvé une énigme amusante dans un forum voisin. Amusante mais pas forcément si bien posée que ça, dans la mesure où il s'agit en fait d'une double énigme. Aussi je le sépare en deux pour plus de clarté :

Le directeur d’une prison réunit trois prisonniers et leur montre 5 disques : 2 noirs et 3 blancs. Il promet la liberté au premier qui découvrira la couleur du disque qui va lui être fixé dans le dos et qui sortira en expliquant logiquement pourquoi il sort. Chaque prisonnier verra le disque fixé dans le dos des 2 autres mais ne verra pas le sien. Les prisonniers n’auront pas le droit de communiquer entre eux.
Le directeur accroche un disque blanc dans le dos de chacun des prisonniers.

Ça, on va dire que c'est la devinette de base. A cela, s'ajoute une suite que donc j'ai séparé, dans la mesure où elle peut embrouiller les idées pour répondre à la première énigme, dont la solution est pourtant à peu près imparable.

Après s’être considérés un certain temps, les trois prisonniers se dirigent ensemble vers la sortie, marquent simultanément un temps d’hésitation et sortent, chacun concluant qu’il est blanc.
Expliquer pourquoi.

Je vous laisse mijoter et poursuivrai demain.

Bien dormi ?

Vous avez trouvé ? (moi j'avais pas trouvé)

Laissons la parole au type qui a lancé l'histoire et qui nous donne maintenant la solution, que là encore je vais scinder en deux :

Les 3 prisonniers A, B et C voient donc chacun 2 blancs.

A, par exemple, fait le raisonnement suivant :
Si j’étais noir, B ferait le raisonnement suivant : "Je vois A noir et si, moi B, je suis noir aussi alors C voit 2 noirs", il sait donc qu’il est blanc et il sort.
Or C ne sort pas, c’est donc que, moi B, je ne suis pas noir : je suis donc blanc et je sors".

Or, poursuis A dans son raisonnement, B (ou C) ne sort pas. C’est donc que, moi A, je ne suis pas noir : je sais donc que je suis blanc et je sors.

C'est joli !

Mais pourquoi ai-je dit "à peu près imparable" et non "imparable" ? Parce qu'existe un cas de figure où A peut se tromper, c'est si et B et C sont vraiment très très lents. Si, le temps que A à la fois trouve l'idée de faire intervenir B pour poursuivre son raisonnement, en tire les conclusions, et attende un moment ; B et C n'aient eux pas même eu le temps de faire un raisonnement pourtant lui très simple (et rapide).
Le raisonnement simple, c'est que si A est noir, alors si moi-même (moi B comme moi C) j'étais noir, l'autre (C ou B) aurait vu deux noirs et serait parti aussitôt... donc je ne suis pas noir. C'est un raisonnement simple parce que B (comme C) ne peut que raisonner en imaginant qu'il est peut-être noir, et qu'il tiendra la solution s'il résout le cas de figure où il est noir (ou pas). Le raisonnement simple ne consiste plus qu'à avoir l'idée qu'alors, C verrait deux noirs... ce qui à mon avis vient quand même à l'esprit assez facilement, sans être un génie.

Donc d'une part on a un raisonnement basique, de l'autre il est question d'une "idée" quand même tout sauf banale (la preuve, personne en général n'arrive à répondre à la devinette).
A est donc tout à fait légitimé dans l'idée que si ni B ni C ne sortent relativement vite (alors qu'en plus en étant deux, leurs chances de faire le raisonnement simple et de sortir sont doublées), c'est bien qu'il n'est pas noir. En outre, notons qu'il a de bonnes raisons de penser qu'il a une vraie avance sur eux, celle donc qu'il tire du bénéfice de son idée. Après un temps relativement bref, il sortira donc avec une explication susceptible d'étayer son raisonnement auprès du directeur, mais néanmoins sans certitude absolue.


Or c'est là qu'intervient la deuxième partie du problème...
A est donc prêt à sortir, il attend le temps qu'il juge raisonnable de la part de B et C pour faire le raisonnement simple, et, au moment où il est quasi-sûr d'être blanc et fait un geste pour sortir : voilà que les autres semblent eux aussi non seulement font le même geste de s'apprêter à sortir, mais hésitent comme lui en le voyant sortir (chacun en voyant sortir les deux autres en fait) !
Voyons ce qu'en dit l'initiateur de la devinette sur l'autre forum :

Mais si B et C font le même raisonnement en même temps, ils se dirigent ensemble vers la sortie.
D’où un temps d’hésitation car le raisonnement de l’un ne vaut que si les deux autres ne sortent pas.
Mais, comme ils ont simultanément ce temps d’hésitation, cela les confirme chacun dans la validité de leur raisonnement.

Il s’agissait d’expliquer 3 choses :
1) Pourquoi se dirigent-ils ensemble vers la sortie ?
2) Pourquoi marquent-ils simultanément un temps d’hésitation ?
3) Pourquoi concluent-ils qu’ils sont blancs ?

La réponse est : parce qu’ils font, en même temps, le raisonnement de A décrit ci-dessus.

Mais que pense a priori A dans cette affaire ? Sa première pensée, la plus évidente à mes yeux, c'est que fort de son idée "lumineuse" qui lui donne tant d'avance, il y a a de bonnes chances que la simultanéité vienne du fait que B et C aient mis un temps vraiment long à faire le raisonnement simple.

C'est d'ailleurs là l'erreur commise sur l'autre forum. Une fois que la solution leur a été fournie, les types semblent sauf erreur avoir finalement occulté qu'eux-même ne l'avaient pas trouvé, et donc (et ça pourtant, ils l'avaient un moment remarqué) que le raisonnement de A n'est simplement "plus long" que celui de B ou C (qui verraient A noir), mais que les deux raisonnements ne sont pas linéaires, successifs. Et du coup ce n'est pas du tout une question de "plus de temps" pour passer du raisonnement simple à l'autre, mais du fait qu'une idée intervienne ou pas. En fait, il y a de fortes chances pour que ni B ni C n'arrivent jamais au raisonnement de A : il faut avoir l'idée qu'a eu A pour résoudre le problème !
(j'ajoute que le fait qu'on soit mis en position d'observateur sachant que trois disques blancs ont été distribués ne change rien : tenter de résoudre la devinette nous met simplement dans la position de A qui voit deux disques blancs).

Je reprends. Donc A est surpris et hésite : viennent-ils seulement de venir à bout du raisonnement simple ? Sauf que bizarrement, B et C semblent eux aussi surpris : marquent eux aussi un temps d'hésitation. Or si j'étais noir, pense A, ils n'auraient pas à hésiter, puisque leur "raisonnement simple" est dans ce cas de figure imparable. Donc ils ne sont pas dans ce cas de figure-là. Et du coup ne reste qu'une possibilité : eux aussi ont vu deux blancs, et ont fait le même raisonnement que moi : rien d'autre ne pourrait autrement les faire hésiter ; ils hésitent pour exactement la même raison qui moi m'a fait hésiter ! (dans la mesure où ils sont censés ne pas pouvoir répondre "au pif" puisqu'ayant à justifier rationnellement de leur décision auprès du directeur). En tous cas, moi je vois pas d'autres raisons (rationnelles) d'hésiter.

La solution (me) semble donc irréfutable.
(sinon, l'initiateur de la devinette fait intervenir Lacan qui s'était amusé du problème... sauf qu'il n'y a aucune raison de disserter sur ce qu'il en dit dans la mesure où il n'évoque que la première partie de l'énigme et ses relatives incertitudes... lesquelles sont résolues par la deuxième partie de l'énoncé. Si ça en amuse certain, c'est  ici).

EDIT : Rectification. Après avoir parcouru le pénible texte de Lacan, il évoque bien les deux parties, ce qui ne change en rien son charabia frimeur incompatible à la clarté nécessaire à toute démonstration logique.